Nguyên hàm chứa căn thức là một phần quan trọng trong bảng nguyên hàm thuộc giải tích lớp 12. Việc thành thạo dạng nguyên hàm này giúp học sinh không chỉ làm tốt các bài kiểm tra mà còn giúp học sinh vượt qua bài thi tốt nghiệp Quốc Gia tốt hơn.
1. Công thức nguyên hàm căn thức thường gặp
2. Bài tập
Bài tập 1. Tìm: \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
Lời giải
Dựa vào bảng nguyên hàm chứa căn thức ở trên, ta có:
$\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} $
$ = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx – \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} } $
${ = 3\tan x – \left( { – \cot x} \right) + C}$
\( = 3\tan x + \cot x + C\)
Bài tập 2. Hãy tìm các nguyên hàm sau
a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\);
b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} – 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\);
c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\);
d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
Lời giải
a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx + \int {{x^{\frac{{ – 1}}{3}}}} dx = 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\)
b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} – 3} \right)} dx = \int {\left( {7{x^{\frac{5}{2}}} – 3{x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx = } 7\int {{x^{\frac{5}{2}}}} dx – 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = 2{x^3}\sqrt x – 2x\sqrt x + C\)
c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx = \int {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}} dx = \int 4 dx + 4\int {\frac{1}{x}} dx + \int {{x^{ – 2}}} dx = 4x + 4\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + C\)
d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx = \int {{2^x}} dx + 3\int {{x^{ – 2}}} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – \frac{3}{x} + C\)
Bài tập 3. Tìm \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{2}{x}} \right)dx} \)
Lời giải
\(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} – 2\int {\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{2}.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} – 2\ln \left| x \right| + C = \frac{1}{3}\sqrt {{x^3}} – 2\ln \left| x \right| + C\)
Bài tập 4. Tìm \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)
Lời giải
\(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} = \int {\frac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}}dx} = \int {{x^{ – \frac{2}{3}}}dx = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C} \).
Bài tập 5. Tìm nguyên hàm sau đây $I = \int \frac{x}{3x + \sqrt{9x^2 – 1}} \, dx $
Lời giải
Ta đặt: $I = \int \frac{x}{3x + \sqrt{9x^2 – 1}} \, dx = \int x(3x – \sqrt{9x^2 – 1}) \, dx $ $= \int 3x^2 \, dx – \int x \sqrt{9x^2 – 1} \, dx $
Gọi: $I_1 = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C_1 $ $I_2 = \int x \sqrt{9x^2 – 1} \, dx $
Đặt \( u = 9x^2 – 1 \), suy ra \( du = 18x \, dx \)
$I_2 = \frac{1}{18} \int \sqrt{9x^2 – 1} \, d(9x^2 – 1) $ $= \frac{1}{27} (9x^2 – 1)^{\frac{3}{2}} + C_2 $
Vậy: $I = \frac{1}{27} (9x^2 – 1)^{\frac{3}{2}} + x^3 + C$
Bài tập 6. Hãy tìm nguyên hàm sau $I = \int \frac{x^2 + \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x\sqrt{x}}} \, dx$
Lời giải
Ta tách ra thành:
$I = \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x\sqrt{x}}} \, dx + \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 + x\sqrt{x}}} \, dx$
Tính \( I_1 \):
$I_1 = \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x\sqrt{x}}} \, dx$
Đặt \( t = \sqrt{1 + x\sqrt{x}} \)
$\Rightarrow t^2 – 1 = x\sqrt{x} \Rightarrow x^3 = (t^2 – 1)^2 $ $\Rightarrow x^2 dx = \frac{4}{3} t (t^2 – 1) dt $
Khi đó:
$I_1 = \int \frac{4}{3} (t^2 – 1) dt = \frac{4}{9} t^3 – \frac{4}{3} t + C_1$
Thay lại \( t = \sqrt{1 + x\sqrt{x}} \), ta có:
$I_1 = \frac{4}{9} (\sqrt{1 + x\sqrt{x}})^3 – \frac{4}{3} \sqrt{1 + x\sqrt{x}} + C_1$
Tính \( I_2 \):
$I_2 = \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 + x\sqrt{x}}} \, dx$
Ta đặt \( u = 1 + x\sqrt{x} \), suy ra \( du = \frac{3}{2} \sqrt{x} dx \)
$I_2 = \frac{2}{3} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{4}{3} \sqrt{1 + x\sqrt{x}} + C_2$
Kết luận: $I = \frac{4}{9} (\sqrt{1 + x\sqrt{x}})^3 + C $
Bài tập 7. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$
Lời giải
Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
$ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + 1} \right) – 1} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
$ = \int {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)dx} $
$ = \int {\sqrt {{x^2} + 1} } dx$ $ – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
$ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right|$
$ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C$
$ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} $ $ – \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$
Bài tập 8. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{2x}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}.$
Lời giải
Bài tập 9. Tìm nguyên hàm chứa căn thức của hàm số sau: $f(x) = \frac{{2x}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}.$
Lời giải
