Nguyên hàm của hàm lũy thừa là một kiến thức nhiều công thức nguyên hàm cần ghi nhớ đối với các bạn học sinh. Bài viết sẽ hệ thống đầy đủ kiến thức cần ghi nhớ cùng phương pháp giải nguyên hàm lũy thừa, giúp các em dễ dàng tiếp thu kiến thức và ôn tập thật hiệu quả.
1. Nguyên hàm của hàm lũy thừa
Với hàm lũy thừa có 6 công thức nguyên hàm cần nhớ:
Công thức giải nhanh dạng câu hỏi trắc nghiệm:
$ \int (ax + b)^n \, dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax + b)^{n+1}}{n+1} + C $
Ôn lại kiến thức lũy thừa với số mũ thực:
Cho \( a, b \) là những số thực dương, \( \alpha, \beta \) là những số thực bất kì. Khi đó:
- \( a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta} \)
- \( \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha \beta} \)
- \( (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \)
- \( (ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha \)
- \( \left( \frac{a}{b} \right)^\alpha = \frac{a^\alpha}{b^\alpha} \)
2. Bài tập
Bài tập 1. Nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \) là
Lời giải
\( \int (x^3 + x^2) dx = \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 + C \).
Bài tập 2. Tìm \( \int x^2 dx \)
Lời giải
Ta có \( \int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C \).
Bài tập 3. Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \) là
Lời giải
\( \int (3x^2 + 1) dx = x^3 + x + C \).
Bài tập 4. Nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + x – 2024 \) là
Lời giải
Sử dụng công thức \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
ta được: $\int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024} \right)} dx$ $ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^4}}}{4} – 2 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$
$ = \frac{1}{12}x^4 – \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2024x + C. $
Bài tập 5. Tìm nguyên \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \)?
Lời giải
Ta có: $ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 $ \
[ \Rightarrow F(x) = \int (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) dx = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C. $
Bài tập 6. Tính \( \int \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[4]{x} \,dx \).
Lời giải
$\int {\sqrt x } \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$ $ = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{4}}}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$ $ = \int {{x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}}}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$ $ = \int {{x^{\frac{7}{8}}}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$
$ = \frac{{{x^{\frac{7}{8} + 1}}}}{{\frac{7}{8} + 1}} + C$ $ = \frac{8}{{15}}{x^{\frac{{15}}{8}}} + C$ $ = \frac{8}{{15}}{x^{\frac{{15}}{8}}} + C.$
Bài tập 7. Tính \( \int \frac{\sqrt{x} – 2\sqrt[3]{x^2} + 1}{4\sqrt{x}} \,dx \).
Lời giải
$ \int \frac{\sqrt{x} – 2\sqrt[3]{x^2} + 1}{4\sqrt{x}} \,dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}} – 2x^{\frac{2}{3}} + 1}{4x^{\frac{1}{2}}} \,dx $
$ = \int \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4x^{\frac{1}{2}}} – \frac{2x^{\frac{2}{3}}}{4x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4x^{\frac{1}{2}}} \right) dx $
$ = \int \left( \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}} – \frac{2}{4} x^{\frac{2}{3} – \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} \right) dx $
$ = \int \left( \frac{1}{4} x^0 – \frac{1}{2} x^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} \right) dx. $
Kết thúc bài viết này, có thể khẳng định rằng việc học tốt nguyên hàm của hàm lũy thừa là một bước đệm quan trọng trong hành trình chinh phục kiến thức toán học của học sinh. Nó không chỉ giúp các em rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích mà còn là nền tảng vững chắc để tiếp cận các chủ đề nguyên hàm phức tạp hơn, chẳng hạn như nguyên hàm hàm ẩn, nguyên hàm của hàm số mũ,hay nguyên hàm lượng giác… Khi nắm chắc nguyên hàm của hàm lũy thừa, học sinh sẽ dễ dàng kết nối và mở rộng sang những khái niệm tiếp theo, tạo nên một chuỗi hiểu biết liền mạch.