Tháng Năm 19, 2024

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} – 2xy + 2x – 10y\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} – 2xy + 2x – 10y\)

A. \(\left\{ \matrix{ x = 4 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right.\)

B. \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right.\)

C. \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right.\)

D. \(\left\{ \matrix{ x = – 3 \hfill \cr y = – 4 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

– Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.- Khi đó, với mọi x.- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} – 2xy + 2x – 10y \cr & \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 – 2xy + 2x – 2y + {y^2} – 8y + 16 – 17 \cr & \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} – 2.x.y + 2.x.1 – 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} – 2.4.y + {4^2}} \right) – 17 \cr & \Leftrightarrow A = {\left( {x – y + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} – 17. \cr} \)

Vì \(\left\{ \matrix{{\left( {x – y + 1} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr {\left( {y – 4} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr} \right.\) với mọi x nên \(A \ge – 17\) với mọi x.

\( \Rightarrow A = – 17 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x – y + 1 = 0 \hfill \cr y – 4 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = y – 1 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right.\)