Tháng Năm 19, 2024

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, D

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hai đường chéo AC và BD phải thỏa mãn điều kiện gì để M, N, P, Q là bốn đỉnh của:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?

c) Hình vuông?

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu hiệu nhận biết các hình:

+) Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo AC và BD tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow \) QM là đường trung bình của tam giác ABD. (định lý)

Do đó QM // BD và \(QM=\frac{1}{2}BD\) (1)

CM tương tự ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác BCD.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & NP//BD \\ & NP=\frac{1}{2}BD\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Từ (1) và (2) ta suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

a) Để MNPQ là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow MN\bot NP\Leftrightarrow AC\bot BD\) (vì MN // AC, NP // BD)

Điều kiện cần tìm là hai đường chéo BD và AC vuông góc với nhau.

b) Để MNPQ là hình thoi \(\Leftrightarrow MN=NP\Leftrightarrow AC=BD\) (vì \(MN=\frac{1}{2}AC,NP=\frac{1}{2}BD\))

Điều kiện cần tìm là hai đường chéo BD và AC bằng nhau.

c) Để MNPQ là hình vuông

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot PQ\\MN = PQ\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC = BD\end{array} \right.\)

Điều kiện cần tìm là hai đường chéo BD và AC bằng nhau và vuông góc với nhau.