Tháng Năm 19, 2024

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. K là điểm đối xứng với M qua điểm I. a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật b) Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao? c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. K là điểm đối xứng với M qua điểm I.

a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật

b) Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông

Phương pháp giải:

Phương pháp:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành ,ta chứng minh được AMCK là hình bình hành.

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật, ta chứng minh được hình bình hành AMCK là hình chữ nhật

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành .Ta chứng minh được tứ giác AKMB là hình bình hành

c) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông để tìm ra điều kiện tam giác ABC vuông cân.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow \widehat{AMC}=90{}^\circ \)

Xét tứ giác AMCK có:

\(\begin{align} & AI=IC(gt) \\ & MI=IK(gt) \\ & AC\cap MK=I(gt) \\\end{align}\)

Suy ra tứ giác AMCK là hình bình hành (dhnb).

Lại có: \(\widehat{AMC}=90{}^\circ (cmt)\) nên hình bình hành AMCK là hình chữ nhật.

b) Ta có:

\(AK\parallel MC\) ( do AMCK là hình chữ nhật), \(M\in BC(gt)\Rightarrow AK\parallel BM\)

Mà \(BM=MC\) ( do AM là trung tuyến), \(AK=MC\) (do AMCK là hình chữ nhật) nên \(AK=BM\) (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác ABMK có:

\(\begin{align} & AK=BM(cmt) \\ & AK\parallel BM(cmt) \\\end{align}\)

Suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.

c) Hình chữ nhật AMCK là hình vuông \(\Leftrightarrow AM=MC\)

Mà \(MC=\frac{1}{2}BC(gt)\) nên \(AM=MC\Leftrightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)

Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(AM=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow \) tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCK là hình vuông.