Tháng Năm 19, 2024

Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Phương pháp giải:

Để chứng minh AGCH là hình thoi ta dựa vào dấu hiệu hình bình hành có đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

\(AB = AD,\widehat {\,\,B} = \widehat D,\,\,BE = DF.\)

Từ đó suy ra \(\Delta ABE = \Delta ADF(c.g.c)\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_4}}\) (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của \(\widehat A \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_3}}.\) (1)

Do đó AO là phân giác của \(\widehat {HAG}.\)

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG.(2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra AHCG là hình thoi. (đpcm)