Tháng Năm 19, 2024

Chứng minh rằng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc\) thì \(a=b=c\) hoặc \(a+b+c=0\).

Chứng minh rằng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc\) thì \(a=b=c\) hoặc \(a+b+c=0\).

Phương pháp giải:

Kết hợp kiến thức mới học và kiến thức cũ về hằng đẳng thức để suy luận logic ra hướng giải bài tập.Hằng đẳng thức được sử dụng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} – bc} \right) = \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} – 3bc} \right] = {\left( {b + c} \right)^3} – 3bc\left( {b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) – 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} – 3bc\left( {b + c} \right) – 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} – a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) – \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} – a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) – 3bc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} – a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} – 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} – ab – ac + {b^2} + 2bc + {c^2} – 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – ac – bc} \right)\end{array}\)

Do đó nếu \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\) thì \(a+b+c=0\) hoặc \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=0\)

Mà \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=\frac{1}{2}.\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]\) suy ra \(a=b=c\). (điều phải chứng minh)